Schwingungen und Wellen

1. Gleichung der harmonischen Schwingungen

Grundlegende Zeitabhängigkeiten:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

Was beschreiben diese Formeln?

Diese Gleichungen beschreiben die Parameter harmonischer Schwingungen:

x(t) — Auslenkung (Koordinate relativ zur Gleichgewichtslage);
v(t) — Geschwindigkeit (erste Ableitung nach der Zeit);
a(t) — Beschleunigung (zweite Ableitung, entgegengesetzt zur Auslenkung).

Alle drei Funktionen hängen ab von:
• Amplitude xₘ (maximale Auslenkung),
• Kreisfrequenz ω (Rate der Phasenänderung),
• Anfangsphase φ (zeitliche Verschiebung des Schwingungsbeginns).

Die Beschleunigung ist immer proportional zur Auslenkung, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen: maximal im Betrag an den Extrempunkten, null in der Gleichgewichtslage.

2. Periode und Frequenz von Schwingungen

Beziehung zwischen T, f und ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

Was beschreiben diese Formeln?

T — Periode, die Zeit für eine vollständige Schwingung (in Sekunden).
f — Frequenz, die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (in Hz): f = 1 / T
ω — Kreisfrequenz, definiert die Phasengeschwindigkeit: ω = 2πf

Diese Größen verknüpfen die zeitlichen Merkmale der Bewegung mit den Gleichungen x(t), v(t), a(t).

3. Perioden einfacher Schwingsysteme

Periode der Feder-Masse-System-Schwingungen:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

Was beschreibt diese Formel?

Die Periode eines Federpendels hängt von der Masse m und der Federkonstante k ab. Je schwerer die Last — desto länger dauert eine Schwingung, je steifer die Feder — desto schneller.

Periode des mathematischen Pendels (kleine Schwingungen):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Was beschreibt diese Formel?

Die Periode eines schwingenden Gewichts an einem Faden hängt nur von der Länge des Fadens l und der Erdbeschleunigung g ab. Die Masse des Gewichts hat keinen Einfluss darauf. Die Formel ist für kleine Auslenkungswinkel (bis ca. 10°) anwendbar.

4. Mechanische Welle

Gleichung für die Beziehung von Geschwindigkeit, Frequenz und Wellenlänge:

v = λ \cdot f

Was beschreibt diese Formel?

Eine Welle überträgt Schwingungen mit einer bestimmten Geschwindigkeit v durch ein Medium.
λ — Wellenlänge: der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Wellenbergen/-tälern oder identischen Schwingungsphasen.
f — Frequenz: wie viele Schwingungen pro Sekunde auftreten.

Diese Formel ist universell: Sie gilt für Schall-, mechanische und elektromagnetische Wellen. Je höher die Frequenz bei fester Geschwindigkeit — desto kürzer die Wellenlänge und umgekehrt.

5. Resonanz und Gütefaktor

Gütefaktor eines Resonanzsystems:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

Was ist Resonanz?

Resonanz tritt auf, wenn die Frequenz einer äußeren Einwirkung mit der Eigenfrequenz des Systems übereinstimmt. Der Gütefaktor zeigt, wie "scharf" das System auf diese Frequenz reagiert: Q = ω₀ / Δω — je höher, desto schärfer der Peak und schmaler das Resonanzband.

Mechanisches Pendel:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Anwendung

Eine Schaukel ist ein klassisches Beispiel für einen mechanischen Resonator. Die Frequenz hängt von der Länge des Fadens L ab, aber nicht von der Masse des Körpers.

Gespannte Saite:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Anwendung

Die Frequenz der Grundschwingung hängt von der Länge der Saite L, der Spannung T und der linearen Dichte ρ ab. Dies ist die Grundlage, wie Musikinstrumente Töne erzeugen.

Schwingkreis (LC-Kreis):

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Anwendung

Elektrische Schaltungen mit Induktivität L und Kapazität C werden auf die gewünschte Frequenz abgestimmt. Dies ist die Grundlage von Filtern, Radioempfängern und Generatoren.

6. Gedämpfte Schwingungen

Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Systemparameter

ω₀ = √(k / m) — Eigenfrequenz ohne Dämpfung
ζ = c / (2√(km)) — Dämpfungskoeffizient

Diese Gleichung beschreibt die Bewegung jedes Systems mit viskoser Reibung: mechanisch, akustisch, elektrisch. Die Form der Lösung hängt vom Wert von ζ ab.

Schwache Dämpfung (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Physikalische Bedeutung

Die Amplitude der Schwingungen nimmt exponentiell mit der Zeit ab. Die Schwingungsfrequenz ist geringfügig niedriger als die eines ungedämpften Systems:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Dieser Modus wird in den meisten praktischen Problemen realisiert: Schall in Luft, elektrische Schaltungen, Schwingungen mit geringer Reibung.

Formel für gedämpfte Schwingungsfrequenz:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Physikalische Bedeutung

Bei gedämpften Schwingungen nimmt die Frequenz im Vergleich zur Eigenfrequenz des Systems ab. Dies liegt am Energieverlust (z.B. durch Reibung oder Widerstand).

Wenn der Dämpfungskoeffizient ζ = 0 ist, bleibt die Frequenz unverändert: ω_d = ω₀.

Mit zunehmendem ζ nimmt die Frequenz ab, und bei ζ → 1 tritt das System in kritische Dämpfung ein, bei der Schwingungen verschwinden.

Die Formel ermöglicht eine erste Einschätzung, wie die Dämpfung die Systemdynamik beeinflusst, und die Auswahl optimaler Parameter bei technischen Aufgaben.

Logarithmisches Dekrement der Dämpfung:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Physikalische Bedeutung

Das logarithmische Dekrement zeigt, wie schnell die Amplitude einer gedämpften Schwingung abnimmt: wie viel kleiner der nächste Peak im Vergleich zum vorherigen wird.

Der Wert Λ hängt mit dem Dämpfungskoeffizienten ζ zusammen:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Diese Charakteristik ist wichtig bei der Analyse schwach gedämpfter Systeme, insbesondere in Mechanik, Elektronik und Akustik.

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