Коливання та Хвилі

1. Рівняння гармонічних коливань

Основні часові залежності:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

Що описують ці формули?

Ці рівняння описують параметри гармонічних коливань:

x(t) — зміщення (координата відносно положення рівноваги);
v(t) — швидкість (перша похідна за часом);
a(t) — прискорення (друга похідна, протилежне до зміщення).

Усі три функції залежать від:
• амплітуди xₘ (максимальне відхилення),
• кутової частоти ω (швидкість зміни фази),
• початкової фази φ (зсув початку коливання за часом).

Прискорення завжди пропорційне зміщенню, але протилежне за знаком: максимальне за величиною в крайніх точках, нульове в положенні рівноваги.

2. Період і частота коливань

Зв'язок між T, f і ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

Що описують ці формули?

T — період, час одного повного коливання (у секундах).
f — частота, кількість коливань за секунду (у Гц): f = 1 / T
ω — кутова частота, визначає швидкість зміни фази: ω = 2πf

Ці величини пов'язують часові характеристики руху з рівняннями x(t), v(t), a(t).

3. Періоди простих коливальних систем

Період коливань пружинного маятника:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

Що описує ця формула?

Період пружинного маятника залежить від маси m та жорсткості пружини k. Чим важчий вантаж — тим довше одне коливання, чим жорсткіша пружина — тим швидше.

Період математичного маятника (малі коливання):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Що описує ця формула?

Період коливань вантажу на нитці залежить лише від довжини нитки l та прискорення вільного падіння g. Маса вантажу на нього не впливає. Формула застосовна для малих кутів відхилення (до ~10°).

4. Механічна хвиля

Рівняння для зв'язку між швидкістю, частотою та довжиною хвилі:

v = λ \cdot f

Що описує ця формула?

Хвиля передає коливання через середовище з певною швидкістю v.
λ — довжина хвилі: відстань між послідовними гребенями/западинами або однаковими фазами коливань.
f — частота: скільки коливань відбувається за секунду.

Ця формула універсальна: вона застосовується до звукових, механічних та електромагнітних хвиль. Чим вища частота при фіксованій швидкості — тим коротша довжина хвилі, і навпаки.

5. Резонанс та добротність

Добротність резонансної системи:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

Що таке резонанс?

Резонанс виникає, коли частота зовнішнього впливу збігається з власною частотою системи. Добротність показує, наскільки "гостро" система реагує на цю частоту: Q = ω₀ / Δω — чим вище, тим гостріший пік і вужча резонансна смуга.

Механічний маятник:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Застосування

Гойдалки — класичний приклад механічного резонатора. Частота залежить від довжини нитки L, але не від маси тіла.

Натягнута струна:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Застосування

Частота основного тону залежить від довжини струни L, натягу T та лінійної густини ρ. Це основа того, як музичні інструменти виробляють звук.

Коливальний контур (LC-контур):

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Застосування

Електричні ланцюги з індуктивністю L та ємністю C налаштовуються на потрібну частоту. Це основа фільтрів, радіоприймачів та генераторів.

6. Затухаючі коливання

Диференціальне рівняння затухаючих коливань:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Параметри системи

ω₀ = √(k / m) — власна частота без затухання
ζ = c / (2√(km)) — коефіцієнт затухання

Це рівняння описує рух будь-якої системи з в'язким тертям: механічної, акустичної, електричної. Вигляд розв'язку залежить від значення ζ.

Слабке затухання (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Фізичний зміст

Амплітуда коливань експоненційно зменшується з часом. Частота коливань трохи менша, ніж у незатухаючої системи:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Цей режим реалізується в більшості практичних завдань: звук у повітрі, електричні ланцюги, коливання з невеликим тертям.

Формула для частоти затухаючих коливань:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Фізичний зміст

У затухаючих коливаннях частота зменшується порівняно з власною частотою системи. Це пов'язано з втратою енергії (наприклад, через тертя або опір).

Якщо коефіцієнт затухання ζ = 0, частота залишається незмінною: ω_d = ω₀.

Зі збільшенням ζ частота зменшується, а при ζ → 1 система переходить у режим критичного затухання, де коливання зникають.

Формула дозволяє попередньо оцінити, як затухання впливає на динаміку системи, та вибрати оптимальні параметри в інженерних завданнях.

Логарифмічний декремент затухання:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Фізичний зміст

Логарифмічний декремент показує, як швидко зменшується амплітуда затухаючого коливання: наскільки меншим стає наступний пік порівняно з попереднім.

Величина Λ пов'язана з коефіцієнтом затухання ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Ця характеристика важлива при аналізі слабозатухаючих систем, особливо в механіці, електроніці та акустиці.

Короткий довідник з фізики

Формули основних розділів