Електромагнітні коливання

періодичні зміни електричних та магнітних величин (напруги, сили струму, заряду, індукції) у замкнутому контурі, наприклад, у колі з конденсатором та котушкою індуктивності

1. Вільні електромагнітні коливання (LC-контур)

Заряд з часом:

q = q_{m} \cdot \cos (ω t + ϕ)

Пояснення

q — миттєвий заряд на конденсаторі; qₘ — амплітуда; ω — циклічна частота; φ₀ — початкова фаза. Заряд змінюється гармонічно з часом і визначає фазу коливань.

Струм з часом:

I = \frac{q}{t}

I = - q_{m} \cdot ω \cdot \sin (ω t + ϕ)

Коментар

I — струм у колі, який відстає від заряду на чверть періоду за фазою. Максимальне значення струму відповідає моменту, коли заряд дорівнює нулю.

Енергія електричного поля (у конденсаторі):

W_{E} = \frac{q^{2}}{2 C}

Пояснення

Енергія конденсатора максимальна, коли заряд максимальний. За відсутності втрат повністю перетворюється на енергію котушки індуктивності.

Енергія магнітного поля:

W_{M} = \frac{L I^{2}}{2}

Коментар

Енергія котушки індуктивності пропорційна квадрату струму. У вільних коливаннях вона періодично перетворюється на електричну енергію.

Повна енергія системи:

W = W_{E} + W_{M} = const

Коментар

В ідеальному LC-контурі повна енергія зберігається. Відображає обмін між електричною та магнітною формами без втрат.

Циклічна частота:

ω = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}

Пояснення

Циклічна частота — скільки радіан коливань відбувається за секунду. Чим більша ємність або індуктивність, тим менша ω.

Період коливань:

T = 2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}

Коментар

T — час одного повного циклу. Формула випливає із зв'язку між періодом та циклічною частотою.

2. Змінний струм у колах (вимушені коливання)

ЕРС джерела:

ϵ = ϵ_{m} \cdot \cos (ω t)

Пояснення

ε — миттєве значення ЕРС, εₘ — її амплітуда. Коливання відбуваються на заданій частоті ω від зовнішнього джерела. Це вимушені коливання, що підтримуються генератором.

Струм у колі:

I = I_{m} \cdot \cos (ω t)

Коментар

I — миттєве значення струму в колі; Iₘ — амплітуда струму. У чисто резистивному колі струм співпадає за фазою з ЕРС.

Напруга на резисторі:

U_{R} = I \cdot R

Коментар

На резисторі напруга та струм співпадають за фазою. Тут електрична енергія перетворюється на теплоту.

Напруга на котушці індуктивності:

U_{L} = I_{m} \cdot L \cdot ω \cdot \cos (ω t + \frac{π}{2})

Пояснення

Напруга на індуктивності випереджає струм на 90° за фазою. Залежить від індуктивності L та частоти ω. Виражає опір зміні струму — інерцію магнітного поля.

Індуктивний опір:

X_{L} = ω \cdot L

Коментар

X_L — реактивний опір котушки. Чим вища частота або індуктивність, тим більший опір струму.

Напруга на конденсаторі:

U_{C} = \frac{I_{m}}{C \cdot ω} \cdot \cos (ω t - \frac{π}{2})

Коментар

Напруга на конденсаторі відстає від струму на 90° за фазою. На високих частотах U_C зменшується — конденсатор «пропускає» струм.

Ємнісний опір:

X_{C} = \frac{1}{ω \cdot C}

Пояснення

Реактивний опір конденсатора обернено пропорційний частоті. При збільшенні ω опір зменшується, струм зростає.

Заряд на конденсаторі:

q = \frac{I_{m}}{ω} \cdot \cos (ω t - \frac{π}{2})

Коментар

Заряд q змінюється з часом зі зсувом фази відносно струму. Відображає накопичення енергії в електричному полі конденсатора.

3. Енергія та резонанс у коливальній системі

Повна енергія LC-контуру:

W = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L \cdot I^{2}}{2}

Пояснення

W — сума електричної та магнітної енергії в системі. За ідеальних умов зберігається, відображає обмін між q та I. Основа для аналізу вільних коливань без втрат.

Резонанс у RLC-контурі:

X_{L} = X_{C} \Rightarrow ω = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}

Коментар

Резонанс виникає, коли індуктивний та ємнісний опори рівні. Повний опір мінімальний, струм максимальний. Резонансна частота залежить лише від L та C — як у вільних коливаннях.

Потужність змінного струму:

P = \frac{{I_{m}}^{2}}{2} \cdot R

Пояснення

Це середня потужність, що розсіюється на резисторі при синусоїдальному струмі. Лише активна складова передає енергію — реактивні елементи її не споживають.

Короткий довідник з фізики

Формули основних розділів