Формули кінематики

Кінематика

розділ механіки, що вивчає рух тіл без дослідження причин цього руху. Вона відповідає на питання: як рухається тіло, а не чому.

1. Рівномірний рух

Швидкість та координата:

v = \frac{S}{t}; x = x_{0} \pm v \cdot t

Що означає ця формула?

Формула описує рух тіла з постійною швидкістю. v — це швидкість, що дорівнює відношенню пройденого шляху S до затраченого часу t. Координата x змінюється рівномірно, залежно від початкового положення x₀ та швидкості v.

Переміщення:

S = x - x_{0} = v \cdot t

Що означає ця формула?

Формула показує відстань, пройдену тілом за час t. Її можна обчислити як різницю між кінцевою та початковою координатами (x − x₀), або як добуток постійної швидкості v та часу руху. Підходить лише для рівномірного руху.

2. Рівноприскорений рух

Прискорення:

a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t}

Що означає ця формула?

Прискорення a показує, як швидко змінюється швидкість тіла за певний проміжок часу. Якщо тіло рівномірно прискорюється або сповільнюється, то зміна швидкості (Δv) ділиться на часовий інтервал (Δt), що дає прискорення в м/с².

Швидкість:

v = v_{0} \pm a \cdot t

Що означає ця формула?

Формула відображає зміну швидкості v тіла з часом. Початкова швидкість v₀ збільшується (або зменшується) на величину прискорення a, помножену на час t. Знак ± залежить від того, чи прискорюється тіло, чи сповільнюється.

Координата:

x = x_{0} \pm v_{0} \cdot t \pm \frac{a \cdot t^{2}}{2}

Що означає ця формула?

Ця формула визначає положення x тіла в будь-який момент часу при русі з постійним прискоренням. Терміни описують: початкову координату x₀, внесок від початкової швидкості v₀·t та внесок від прискорення, пропорційний квадрату часу. Застосовується за відсутності опору та з постійним прискоренням.

3. Вільне падіння

Швидкість при падінні:

v = v_{0} \pm g \cdot t

Що означає ця формула?

Ця формула описує швидкість тіла під час вільного падіння, що починається з початкової швидкості v₀, з урахуванням прискорення вільного падіння g та часу t. Знак ± залежить від напрямку руху: вгору чи вниз.

Висота:

h = v_{0} \cdot t \pm \frac{g \cdot t^{2}}{2}

Що означає ця формула?

Формула описує, як змінюється висота тіла під час вертикального руху. Перший член — це внесок початкової вертикальної швидкості, другий — вплив гравітаційного прискорення. Знак ± залежить від напрямку руху: вгору (зменшення висоти з часом) або вниз (збільшення висоти відносно початку).

Без часу:

v^{2} = {v_{0}}^{2} \pm 2 g \cdot h

Що означає ця формула?

Формула дозволяє розрахувати швидкість v тіла без явного зазначення часу — через його початкову швидкість v₀ та висоту переміщення h. Це зручно, коли відома висота падіння, але не відомий час. Знак ± залежить від напрямку: прискорення до землі або уповільнення при підйомі.

4. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Проєкції швидкості:

v_{0 x} = v_{0} \cos α; v_{0 y} = v_{0} \sin α

Що означає ця формула?

Початкова швидкість v₀ тіла, кинутого під кутом α, розкладається на дві складові: горизонтальну v₀ₓ та вертикальну v₀ᵧ. Це дозволяє розглядати рух незалежно по осях X та Y, що спрощує розрахунки траєкторії та часу польоту.

Горизонтальне переміщення:

x = v_{0 x} \cdot t

Що означає ця формула?

Формула описує горизонтальну відстань, пройдену тілом під час руху. Оскільки прискорення вздовж осі X відсутнє, рух є рівномірним, і шлях обчислюється за класичною формулою — швидкість, помножена на час.

Вертикальне переміщення:

y = v_{0 y} \cdot t - \frac{g \cdot t^{2}}{2}

Що означає ця формула?

Ця формула визначає положення тіла в будь-який момент часу після запуску. Перша частина — це інерційний підйом за рахунок початкового імпульсу, друга — це спадання за рахунок гравітації. Разом вони описують параболічну траєкторію.

Час підйому:

t_{\max} = \frac{v_{0 y}}{g}

Що означає ця формула?

Ця формула показує, як довго тіло буде підніматися, поки не досягне максимальної висоти. У цей момент вертикальна швидкість стає нульовою. Чим більша початкова вертикальна швидкість, тим довший підйом.

Максимальна висота:

H_{\max} = \frac{{v_{0 y}}^{2}}{2 g} = \frac{{v_{0}}^{2} \sin^{2} α}{2 g}

Що означає ця формула?

Максимальна висота польоту досягається, коли вертикальна швидкість стає нульовою. Вона залежить від початкової вертикальної швидкості та прискорення вільного падіння. Другий варіант формули показує залежність від загального початкового імпульсу та кута запуску.

Дальність польоту:

L = \frac{{v_{0}}^{2} \sin (2 α)}{g}

Що означає ця формула?

Ця формула показує, наскільки далеко від точки запуску приземлиться тіло. Вона залежить від початкової швидкості, кута запуску та сили гравітації. Синус подвійного кута визначає оптимальний кут для максимальної дальності — 45°, за інших рівних умов.

5. Рух по колу

Частота та Дуга:

ν = \frac{1}{T}; S = Δ φ \cdot R

Що означає ця формула?

Частота ν — це кількість обертів за секунду, обернено пропорційна періоду T одного оберту. Формула дуги S показує шлях, пройдений обертовим тілом, як добуток кута обертання Δφ (у радіанах) та радіуса кола R.

Кутове переміщення:

Δ φ = φ_{2} - φ_{1}

Що означає ця формула?

Кутове переміщення Δφ показує кут, на який повернулося тіло під час руху по колу. Це різниця між кінцевим і початковим значеннями кута, виміряна в радіанах.

Кутова швидкість:

ω = \frac{Δ φ}{t} = \frac{2 π}{T} = 2 π ν

Що означає ця формула?

Кутова швидкість ω вимірює, як швидко тіло обертається навколо осі. Вона показує, на скільки радіанів повертається тіло за одиницю часу. Усі три форми є еквівалентними та розкривають взаємозв'язок між кутовим переміщенням, періодом та частотою обертання.

Лінійна швидкість:

v = \frac{S}{t} = \frac{Δ φ \cdot R}{t} = ω \cdot R

Що означає ця формула?

Лінійна швидкість v показує, як швидко тіло рухається по круговій траєкторії. Її можна виразити через відстань за час, через кутове переміщення, або безпосередньо через кутову швидкість і радіус. Формула поєднує обертальний та поступальний рухи.

Доцентрове прискорення:

a_{c} = \frac{v^{2}}{R} = ω^{2} \cdot R

Що означає ця формула?

Доцентрове прискорення спрямоване до центру обертання і необхідне для підтримки руху по круговій траєкторії. Воно залежить від квадрату швидкості (лінійної або кутової) та обернено пропорційне радіусу.

Кутове прискорення:

ε = \frac{Δ ω}{Δ t}

Що означає ця формула?

Кутове прискорення ε описує, як швидко змінюється кутова швидкість обертового тіла. Воно аналогічне лінійному прискоренню, але в контексті обертального руху — і залежить від зміни кутової швидкості за певний часовий інтервал.

Тангенціальне прискорення:

a_{τ} = ε \cdot R

Що означає ця формула?

Тангенціальне прискорення aτ відповідає за зміну лінійної швидкості тіла, що рухається по колу. Воно виникає, коли кутова швидкість змінюється з часом (існує кутове прискорення ε). Це прискорення діє вздовж дотичної до траєкторії.

Короткий довідник з фізики

Формули основних розділів

Кінематика

1. Рівномірний рух

Швидкість та координата:

Переміщення:

2. Рівноприскорений рух

Прискорення:

Швидкість:

Координата:

3. Вільне падіння

Швидкість при падінні:

Висота:

Без часу:

4. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Проєкції швидкості:

Горизонтальне переміщення:

Вертикальне переміщення:

Час підйому:

Максимальна висота:

Дальність польоту:

5. Рух по колу

Частота та Дуга:

Кутове переміщення:

Кутова швидкість:

Лінійна швидкість:

Доцентрове прискорення:

Кутове прискорення:

Тангенціальне прискорення: