Kmitanie a vlny

1. Rovnice harmonických kmitov

Základné závislosti v čase:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

Čo popisujú tieto vzorce?

Tieto rovnice popisujú parametre harmonických kmitov:

x(t) — výchylka (súradnica vzhľadom na rovnovážnu polohu);
v(t) — rýchlosť (prvá derivácia podľa času);
a(t) — zrýchlenie (druhá derivácia, opačná k výchylke).

Všetky tri funkcie závisia od:
• amplitúdy xₘ (maximálna výchylka),
• uhlovej frekvencie ω (rýchlosť zmeny fázy),
• počiatočnej fázy φ (časový posun začiatku kmitania).

Zrýchlenie je vždy úmerné výchylke, ale má opačné znamienko: maximálne v absolútnej hodnote — v krajných bodoch, nulové v rovnovážnej polohe.

2. Perióda a frekvencia kmitania

Vzájomný vzťah T, f a ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

Čo popisujú tieto vzorce?

T — perióda, čas jedného úplného kmitu (v sekundách).
f — frekvencia, počet kmitov za sekundu (v Hz): f = 1 / T
ω — uhlová frekvencia, udáva rýchlosť fázy: ω = 2πf

Tieto veličiny spájajú časové charakteristiky pohybu s rovnicami x(t), v(t), a(t).

3. Periódy jednoduchých kmitajúcich sústav

Perióda kmitania pružinovej sústavy:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

Čo popisuje tento vzorec?

Perióda pružinového kyvadla závisí od hmotnosti m a tuhosti pružiny k. Čím ťažšie závažie — tým dlhší jeden kmit, čím tuhšia pružina — tým rýchlejší.

Perióda matematického kyvadla (malé kmity):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Čo popisuje tento vzorec?

Perióda kyvajúceho závažia na niti závisí len od dĺžky niti l a gravitačného zrýchlenia g. Hmotnosť závažia nemá vplyv. Vzorec je platný pre malé uhly výchylky (do ~10°).

4. Mechanická vlna

Rovnica vzťahu rýchlosti, frekvencie a vlnovej dĺžky:

v = λ \cdot f

Čo popisuje tento vzorec?

Vlna prenáša kmitanie prostredím s určitou rýchlosťou v.
λ — vlnová dĺžka: vzdialenosť medzi susednými hrebeňmi/dolmi alebo rovnakými fázami kmitov.
f — frekvencia: koľko kmitov sa uskutoční za sekundu.

Tento vzorec je univerzálny: platí tak pre zvukové, ako aj pre mechanické a elektromagnetické vlny. Čím vyššia frekvencia pri pevnej rýchlosti — tým kratšia vlnová dĺžka a naopak.

5. Rezonancia a činiteľ akosti

Činiteľ akosti rezonančnej sústavy:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

Čo je rezonancia?

Rezonancia nastáva, keď frekvencia vonkajšieho pôsobenia súhlasí s vlastnou frekvenciou sústavy. Činiteľ akosti ukazuje, ako „ostro“ sústava reaguje na túto frekvenciu: Q = ω₀ / Δω — čím vyšší, tým ostrejší je pík a užšie rezonančné pásmo.

Mechanické kyvadlo:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Použitie

Hojdačka — klasický príklad mechanického rezonátora. Frekvencia závisí od dĺžky nite L, ale nie od hmotnosti telesa.

Napnutá struna:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Použitie

Frekvencia základnej harmoniky závisí od dĺžky struny L, napätia T a lineárnej hustoty ρ. To je základ zvuku hudobných nástrojov.

Kmitavý obvod:

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Použitie

Elektrické obvody s indukčnosťou L a kapacitou C sa ladia na požadovanú frekvenciu. To je základ filtrov, rádioprijímačov a generátorov.

6. Tlmené kmitanie

Diferenciálna rovnica tlmených kmitov:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Parametre sústavy

ω₀ = √(k / m) — vlastná frekvencia bez tlmenia
ζ = c / (2√(km)) — koeficient tlmenia

Táto rovnica popisuje pohyb akejkoľvek sústavy s viskóznym trením: mechanické, akustické, elektrické. Typ riešenia závisí od hodnoty ζ.

Slabé tlmenie (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Fyzikálny zmysel

Amplitúda kmitov sa exponenciálne znižuje v čase. Frekvencia kmitov je o niečo nižšia ako pri netlmenej sústave:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Tento režim sa realizuje vo väčšine praktických úloh: zvuk vo vzduchu, elektrické obvody, kmitanie s ľahkým trením.

Vzorec pre frekvenciu tlmených kmitov:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Fyzikálny zmysel

Pri tlmených kmitoch sa frekvencia znižuje v porovnaní s vlastnou frekvenciou sústavy. To je spôsobené stratou časti energie (napríklad kvôli treniu alebo odporu).

Ak je koeficient tlmenia ζ = 0, frekvencia zostáva nezmenená: ω_d = ω₀.

S rastom ζ sa frekvencia znižuje a pri ζ → 1 sústava prechádza do kritického tlmenia, pri ktorom kmity miznú.

Vzorec umožňuje vopred odhadnúť, ako tlmenie ovplyvňuje dynamiku sústavy a vybrať optimálne parametre v inžinierskych úlohách.

Logaritmický dekrement tlmenia:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2 />}}}

Fyzikálny zmysel

Logaritmický dekrement ukazuje, ako rýchlo sa znižuje amplitúda tlmeného kmitu: o koľko je menší nasledujúci vrchol v porovnaní s predchádzajúcim.

Veličina Λ súvisí s koeficientom tlmenia ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Táto charakteristika je dôležitá pri analýze slabo tlmených sústav, najmä v mechanike, elektronike a akustike.

Stručná príručka fyziky

Vzorce základných oddielov

Kmitanie a vlny

1. Rovnice harmonických kmitov

Základné závislosti v čase:

2. Perióda a frekvencia kmitania

Vzájomný vzťah T, f a ω:

3. Periódy jednoduchých kmitajúcich sústav

Perióda kmitania pružinovej sústavy:

Perióda matematického kyvadla (malé kmity):

4. Mechanická vlna

Rovnica vzťahu rýchlosti, frekvencie a vlnovej dĺžky:

5. Rezonancia a činiteľ akosti

Činiteľ akosti rezonančnej sústavy:

Mechanické kyvadlo:

Napnutá struna:

Kmitavý obvod:

6. Tlmené kmitanie

Diferenciálna rovnica tlmených kmitov:

Slabé tlmenie (ζ < 1):

Vzorec pre frekvenciu tlmených kmitov:

Logaritmický dekrement tlmenia: