Elektromagnetické kmitanie

periodické zmeny elektrických a magnetických veličín (napätia, prúdu, náboja, indukcie) v uzavretom obvode, napríklad v obvode s kondenzátorom a cievkou

1. Voľné elektromagnetické kmitanie (LC-obvod)

Náboj v čase:

q = q_{m} \cdot \cos (ω t + ϕ)

Vysvetlenie

q — okamžitý náboj na kondenzátore; qₘ — amplitúda; ω — uhlová frekvencia; φ₀ — počiatočná fáza. Náboj sa harmonicky mení v čase a určuje fázu kmitania.

Prúd v čase:

I = \frac{q}{t}

I = - q_{м} \cdot ω \cdot \sin (ω t + ϕ)

I = - q_{m} \cdot ω \cdot \sin (ω t + ϕ)

Komentár

I — prúd v obvode, ktorý je fázovo posunutý o štvrtinu periódy vzhľadom na náboj. Maximálna hodnota prúdu zodpovedá okamihu, keď je náboj nulový.

Energia elektrického poľa (v kondenzátore):

W_{E} = \frac{q^{2}}{2 C}

Vysvetlenie

Energia kondenzátora je maximálna, keď je náboj maximálny. Pri absencii strát sa plne premieňa na energiu cievky.

Energia magnetického poľa:

W_{M} = \frac{L I^{2}}{2}

Komentár

Energia cievky je úmerná štvorcu prúdu. Pri voľnom kmitaní sa periodicky premieňa na elektrickú energiu.

Celková energia systému:

W = W_{E} + W_{M} = const

Komentár

V ideálnom LC-obvode sa celková energia zachováva. Odráža výmenu medzi elektrickou a magnetickou formou bez strát.

Uhlová frekvencia:

ω = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}

Vysvetlenie

Uhlová frekvencia — koľko radiánov vykonajú kmity za sekundu. Čím väčšia je kapacita alebo indukčnosť — tým nižšia je ω.

Perióda kmitania:

T = 2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}

Komentár

T — čas jedného úplného cyklu. Vzorec vyplýva zo vzťahu periódy k uhlovej frekvencii.

2. Striedavý prúd v obvodoch (nútené kmitanie)

EMS zdroja:

ϵ = ϵ_{m} \cdot \cos (ω t)

Vysvetlenie

ε — okamžitá hodnota EMS, εₘ — jej amplitúda. Kmity prebiehajú s danou frekvenciou ω od externého zdroja. Ide o nútené kmity, udržiavané generátorom.

Prúd v obvode:

I = I_{м} \cdot \cos (ω t)

Komentár

I — okamžitá hodnota prúdu v obvode; Iₘ — amplitúda prúdu. V čisto odporovom obvode je prúd vo fáze s EMS.

Napätie na rezistore:

U_{R} = I \cdot R

Komentár

Na rezistore sú napätie a prúd vo fáze. Tu dochádza k premene elektrickej energie na teplo.

Napätie na cievke:

U_{L} = I_{м} \cdot L \cdot ω \cdot \cos (ω t + \frac{π}{2})

Vysvetlenie

Napätie na indukčnosti predbieha prúd o 90° vo fáze. Závisí od indukčnosti L a frekvencie ω. Vyjadruje odpor voči zmene prúdu — zotrvačnosť magnetického poľa.

Indukčná reaktancia:

X_{L} = ω \cdot L

Komentár

X_L — reaktancia cievky. Čím vyššia frekvencia alebo indukčnosť — tým väčší odpor voči prúdu.

Napätie na kondenzátore:

U_{C} = \frac{I_{м}}{C \cdot ω} \cdot \cos (ω t - \frac{π}{2})

Komentár

Napätie na kondenzátore zaostáva za prúdom o 90° vo fáze. Pri vysokých frekvenciách U_C klesá — kondenzátor "prepúšťa" prúd.

Kapacitná reaktancia:

X_{C} = \frac{1}{ω \cdot C}

Vysvetlenie

Reaktancia kondenzátora je nepriamo úmerná frekvencii. S rastúcou ω — reaktancia klesá, prúd sa zosilňuje.

Náboj na kondenzátore:

q = \frac{I_{м}}{ω} \cdot \cos (ω t - \frac{π}{2})

Komentár

Náboj q sa mení s časom s fázovým posunom vzhľadom na prúd. Odráža akumuláciu energie v elektrickom poli kondenzátora.

3. Energia a rezonancia v kmitavom systéme

Celková energia LC-obvodu:

W = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L \cdot I^{2}}{2}

Vysvetlenie

W — súčet elektrickej a magnetickej energie v systéme. Za ideálnych podmienok sa zachováva, odráža výmenu medzi q a I. Základ pre analýzu voľných kmitov bez strát.

Rezonancia v RLC-obvode:

X_{L} = X_{C} \Rightarrow ω = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}

Komentár

Pri rovnosti indukčnej a kapacitnej reaktancie nastáva rezonancia. Celková impedancia je minimálna, prúd — maximálny. Frekvencia rezonancie závisí iba na L a C — rovnako ako pri voľných kmitoch.

Výkon striedavého prúdu:

P = \frac{{I_{м}}^{2}}{2} \cdot R

Vysvetlenie

Ide o priemerný výkon, vydávaný na rezistore pri sínusoidnom prúde. Iba aktívna zložka prenáša energiu — reaktívne prvky ju nespotrebovávajú.

Stručná príručka fyziky

Vzorce základných oddielov