Колебания и волны

1. Уравнение гармонических колебаний

Основные зависимости во времени:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

Что описывают эти формулы?

Эти уравнения описывают параметры гармонических колебаний:

x(t) — смещение (координата относительно положения равновесия);
v(t) — скорость (первая производная по времени);
a(t) — ускорение (вторая производная, противоположна смещению).

Все три функции зависят от:
• амплитуды xₘ (максимальное отклонение),
• угловой частоты ω (скорость изменения фазы),
• начальной фазы φ (временной сдвиг начала колебания).

Ускорение всегда пропорционально смещению, но противоположно ему по знаку: максимальное по модулю — в крайних точках, равно нулю в равновесии.

2. Период и частота колебаний

Взаимосвязь T, f и ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

Что описывают эти формулы?

T — период, время одного полного колебания (в секундах).
f — частота, число колебаний в секунду (в Гц): f = 1 / T
ω — угловая частота, задаёт скорость фазы: ω = 2πf

Эти величины связывают временные характеристики движения с уравнениями x(t), v(t), a(t).

3. Периоды простых колебательных систем

Период колебаний пружинной системы:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

Что описывает эта формула?

Период пружинного маятника зависит от массы m и жёсткости пружины k. Чем тяжелее груз — тем дольше одно колебание, чем туже пружина — тем быстрее.

Период математического маятника (малые колебания):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Что описывает эта формула?

Период качающегося груза на нити зависит только от длины нити l и ускорения свободного падения g. Масса груза не влияет. Формула применима при малых углах отклонения (до ~10°).

4. Механическая волна

Уравнение связи скорости, частоты и длины волны:

v = λ \cdot f

Что описывает эта формула?

Волна переносит колебания через среду с определённой скоростью v.
λ — длина волны: расстояние между соседними гребнями/впадинами или одинаковыми фазами колебаний.
f — частота: сколько колебаний совершается за секунду.

Эта формула универсальна: она применима как к звуковым, так и к механическим и электромагнитным волнам. Чем выше частота при фиксированной скорости — тем короче длина волны, и наоборот.

5. Резонанс и добротность

Добротность резонансной системы:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

Что такое резонанс?

Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы. Добротность показывает, насколько “резко” система откликается на эту частоту: Q = ω₀ / Δω — чем выше, тем острее пик и уже полоса резонанса.

Механический маятник:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Применение

Качели — классический пример механического резонатора. Частота зависит от длины нити L, но не от массы тела.

Натянутая струна:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Применение

Частота основной гармоники зависит от длины струны L, натяжения T и линейной плотности ρ. Это основа звучания музыкальных инструментов.

Колебательный контур:

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Применение

Электрические цепи с индуктивностью L и ёмкостью C настраиваются на нужную частоту. Это основа фильтров, радиоприёмников и генераторов.

6. Затухающие колебания

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Параметры системы

ω₀ = √(k / m) — собственная частота без затухания
ζ = c / (2√(km)) — коэффициент затухания

Это уравнение описывает движение любой системы с вязким трением: механической, акустической, электрической. Вид решения зависит от значения ζ.

Слабое затухание (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Физический смысл

Амплитуда колебаний уменьшается экспоненциально по времени. Частота колебаний немного ниже, чем у незатухающей системы:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Такой режим реализуется в большинстве практических задач: звук в воздухе, электрические цепи, колебания с лёгким трением.

Формула для частоты затухающих колебаний:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Физический смысл

При затухающих колебаниях частота уменьшается по сравнению с собственной частотой системы. Это связано с тем, что часть энергии теряется (например, из-за трения или сопротивления).

Если коэффициент затухания ζ = 0, частота остаётся неизменной: ω_d = ω₀.

При росте ζ частота снижается, а при ζ → 1 система переходит в критическое затухание, при котором колебания исчезают.

Формула позволяет заранее оценить, как затухание влияет на динамику системы и подобрать оптимальные параметры в инженерных задачах.

Логарифмический декремент затухания:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Физический смысл

Логарифмический декремент показывает, насколько быстро уменьшается амплитуда затухающего колебания: насколько меньше становится следующий пик по сравнению с предыдущим.

Величина Λ связана с коэффициентом затухания ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Эта характеристика важна при анализе слабо затухающих систем, особенно в механике, электронике и акустике.

Краткий справочник по физике

Формулы основных разделов