Kmitání a vlny

1. Rovnice harmonických kmitů

Základní závislosti v čase:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

Co popisují tyto vzorce?

Tyto rovnice popisují parametry harmonických kmitů:

x(t) — výchylka (souřadnice vzhledem k rovnovážné poloze);
v(t) — rychlost (první derivace podle času);
a(t) — zrychlení (druhá derivace, opačná k výchylce).

Všechny tři funkce závisí na:
• amplitudě xₘ (maximální výchylka),
• úhlové frekvenci ω (rychlost změny fáze),
• počáteční fázi φ (časový posun začátku kmitání).

Zrychlení je vždy úměrné výchylce, ale má opačné znaménko: maximální v absolutní hodnotě — v krajních bodech, nulové v rovnovážné poloze.

2. Perioda a frekvence kmitání

Vzájemný vztah T, f a ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

Co popisují tyto vzorce?

T — perioda, čas jednoho úplného kmitu (v sekundách).
f — frekvence, počet kmitů za sekundu (v Hz): f = 1 / T
ω — úhlová frekvence, udává rychlost fáze: ω = 2πf

Tyto veličiny propojují časové charakteristiky pohybu s rovnicemi x(t), v(t), a(t).

3. Periody jednoduchých kmitajících soustav

Perioda kmitání pružinové soustavy:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

Co popisuje tento vzorec?

Perioda pružinového kyvadla závisí na hmotnosti m a tuhosti pružiny k. Čím těžší závaží — tím delší jeden kmit, čím tužší pružina — tím rychlejší.

Perioda matematického kyvadla (malé kmity):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Co popisuje tento vzorec?

Perioda kyvajícího závaží na niti závisí pouze na délce niti l a gravitačním zrychlení g. Hmotnost závaží nemá vliv. Vzorec je platný pro malé úhly výchylky (do ~10°).

4. Mechanická vlna

Rovnice vztahu rychlosti, frekvence a vlnové délky:

v = λ \cdot f

Co popisuje tento vzorec?

Vlna přenáší kmitání prostředím s určitou rychlostí v.
λ — vlnová délka: vzdálenost mezi sousedními hřebeny/doly nebo stejnými fázemi kmitů.
f — frekvence: kolik kmitů se uskuteční za sekundu.

Tento vzorec je univerzální: platí jak pro zvukové, tak pro mechanické a elektromagnetické vlny. Čím vyšší frekvence při pevné rychlosti — tím kratší vlnová délka a naopak.

5. Rezonance a činitel jakosti

Činitel jakosti rezonanční soustavy:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

Co je rezonance?

Rezonance nastává, když frekvence vnějšího působení souhlasí s vlastní frekvencí soustavy. Činitel jakosti ukazuje, jak „ostře“ soustava reaguje na tuto frekvenci: Q = ω₀ / Δω — čím vyšší, tím ostřejší je pík a užší rezonanční pásmo.

Mechanické kyvadlo:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Použití

Houpačka — klasický příklad mechanického rezonátoru. Frekvence závisí na délce nitě L, ale ne na hmotnosti tělesa.

Napjatá struna:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Použití

Frekvence základní harmoniky závisí na délce struny L, napětí T a lineární hustotě ρ. To je základ zvuku hudebních nástrojů.

Kmitavý obvod:

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Použití

Elektrické obvody s indukčností L a kapacitou C se ladí na požadovanou frekvenci. To je základ filtrů, radiopřijímačů a generátorů.

6. Tlumené kmitání

Diferenciální rovnice tlumených kmitů:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Parametry soustavy

ω₀ = √(k / m) — vlastní frekvence bez tlumení
ζ = c / (2√(km)) — koeficient tlumení

Tato rovnice popisuje pohyb jakékoli soustavy s viskózním třením: mechanické, akustické, elektrické. Typ řešení závisí na hodnotě ζ.

Slabé tlumení (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Fyzikální smysl

Amplituda kmitů se exponenciálně snižuje v čase. Frekvence kmitů je o něco nižší než u netlumené soustavy:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Tento režim se realizuje ve většině praktických úloh: zvuk ve vzduchu, elektrické obvody, kmitání s lehkým třením.

Vzorec pro frekvenci tlumených kmitů:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Fyzikální smysl

Při tlumených kmitech se frekvence snižuje ve srovnání s vlastní frekvencí soustavy. To je způsobeno ztrátou části energie (například kvůli tření nebo odporu).

Pokud je koeficient tlumení ζ = 0, frekvence zůstává nezměněna: ω_d = ω₀.

S růstem ζ se frekvence snižuje a při ζ → 1 soustava přechází do kritického tlumení, při kterém kmity mizí.

Vzorec umožňuje předem odhadnout, jak tlumení ovlivňuje dynamiku soustavy a vybrat optimální parametry v inženýrských úlohách.

Logaritmický dekrement tlumení:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2 />}}}

Fyzikální smysl

Logaritmický dekrement ukazuje, jak rychle se snižuje amplituda tlumeného kmitu: o kolik je menší následující vrchol ve srovnání s předchozím.

Veličina Λ souvisí s koeficientem tlumení ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Tato charakteristika je důležitá při analýze slabě tlumených soustav, zejména v mechanice, elektronice a akustice.

Stručný průvodce fyzikou

Vzorce základních témat

Kmitání a vlny

1. Rovnice harmonických kmitů

Základní závislosti v čase:

2. Perioda a frekvence kmitání

Vzájemný vztah T, f a ω:

3. Periody jednoduchých kmitajících soustav

Perioda kmitání pružinové soustavy:

Perioda matematického kyvadla (malé kmity):

4. Mechanická vlna

Rovnice vztahu rychlosti, frekvence a vlnové délky:

5. Rezonance a činitel jakosti

Činitel jakosti rezonanční soustavy:

Mechanické kyvadlo:

Napjatá struna:

Kmitavý obvod:

6. Tlumené kmitání

Diferenciální rovnice tlumených kmitů:

Slabé tlumení (ζ < 1):

Vzorec pro frekvenci tlumených kmitů:

Logaritmický dekrement tlumení: