Elektromagnetické kmitání

periodické změny elektrických a magnetických veličin (napětí, proudu, náboje, indukce) v uzavřeném obvodu, například v obvodu s kondenzátorem a cívkou

1. Volné elektromagnetické kmitání (LC-obvod)

Náboj v čase:

q = q_{м} \cdot \cos (ω t + ϕ)

Vysvětlení

q — okamžitý náboj na kondenzátoru; qₘ — amplituda; ω — úhlová frekvence; φ₀ — počáteční fáze. Náboj se harmonicky mění v čase a určuje fázi kmitání.

Proud v čase:

I = \frac{q}{t}

I = - q_{м} \cdot ω \cdot \sin (ω t + ϕ)

Komentář

I — proud v obvodu, který je fázově posunut o čtvrtinu periody vzhledem k náboji. Maximální hodnota proudu odpovídá okamžiku, kdy je náboj nulový.

Energie elektrického pole (v kondenzátoru):

W_{E} = \frac{q^{2}}{2 C}

Vysvětlení

Energie kondenzátoru je maximální, když je náboj maximální. Při absenci ztrát se plně přeměňuje na energii cívky.

Energie magnetického pole:

W_{M} = \frac{L I^{2}}{2}

Komentář

Energie cívky je úměrná čtverci proudu. Při volném kmitání se periodicky přeměňuje na elektrickou energii.

Celková energie systému:

W = W_{E} + W_{M} = const

Komentář

V ideálním LC-obvodu se celková energie zachovává. Odráží výměnu mezi elektrickou a magnetickou formou bez ztrát.

Úhlová frekvence:

ω = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}

Vysvětlení

Úhlová frekvence — kolik radiánů vykonají kmity za sekundu. Čím větší je kapacita nebo indukčnost — tím nižší je ω.

Perioda kmitání:

T = 2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}

Komentář

T — čas jednoho úplného cyklu. Vzorec vyplývá ze vztahu periody k úhlové frekvenci.

2. Střídavý proud v obvodech (nucené kmitání)

EMS zdroje:

ϵ = ϵ_{м} \cdot \cos (ω t)

Vysvětlení

ε — okamžitá hodnota EMS, εₘ — její amplituda. Kmity probíhají s danou frekvencí ω od externího zdroje. Jedná se o nucené kmity, udržované generátorem.

Proud v obvodu:

I = I_{м} \cdot \cos (ω t)

Komentář

I — okamžitá hodnota proudu v obvodu; Iₘ — amplituda proudu. V čistě odporovém obvodu je proud ve fázi s EMS.

Napětí na rezistoru:

U_{R} = I \cdot R

Komentář

Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi. Zde dochází k přeměně elektrické energie na teplo.

Napětí na cívce:

U_{L} = I_{м} \cdot L \cdot ω \cdot \cos (ω t + \frac{π}{2})

Vysvětlení

Napětí na indukčnosti předbíhá proud o 90° ve fázi. Závisí na indukčnosti L a frekvenci ω. Vyjadřuje odpor vůči změně proudu — setrvačnost magnetického pole.

Indukční reaktance:

X_{L} = ω \cdot L

Komentář

X_L — reaktance cívky. Čím vyšší frekvence nebo indukčnost — tím větší odpor proti proudu.

Napětí na kondenzátoru:

U_{C} = \frac{I_{м}}{C \cdot ω} \cdot \cos (ω t - \frac{π}{2})

Komentář

Napětí na kondenzátoru zaostává za proudem o 90° ve fázi. Při vysokých frekvencích U_C klesá — kondenzátor "propouští" proud.

Kapacitní reaktance:

X_{C} = \frac{1}{ω \cdot C}

Vysvětlení

Reaktance kondenzátoru je nepřímo úměrná frekvenci. S rostoucí ω — reaktance klesá, proud se zesiluje.

Náboj na kondenzátoru:

q = \frac{I_{м}}{ω} \cdot \cos (ω t - \frac{π}{2})

Komentář

Náboj q se mění s časem s fázovým posunem vzhledem k proudu. Odráží akumulaci energie v elektrickém poli kondenzátoru.

3. Energie a rezonance v kmitavém systému

Celková energie LC-obvodu:

W = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L \cdot I^{2}}{2}

Vysvětlení

W — součet elektrické a magnetické energie v systému. Za ideálních podmínek se zachovává, odráží výměnu mezi q a I. Základ pro analýzu volných kmitů bez ztrát.

Rezonance v RLC-obvodu:

X_{L} = X_{C} \Rightarrow ω = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}

Komentář

Při rovnosti indukční a kapacitní reaktance nastává rezonance. Celková impedance je minimální, proud — maximální. Frekvence rezonance závisí pouze na L a C — stejně jako u volných kmitů.

Výkon střídavého proudu:

P = \frac{{I_{м}}^{2}}{2} \cdot R

Vysvětlení

Jedná se o průměrný výkon, vydávaný na rezistoru při sinusoidním proudu. Pouze aktivní složka přenáší energii — reaktivní prvky ji nespotřebovávají.

Stručný průvodce fyzikou

Vzorce základních témat