Krótki przewodnik po fizyce

Te równania opisują parametry drgań harmonicznych:

• x(t) — przemieszczenie (współrzędna względem położenia równowagi);
• v(t) — prędkość (pierwsza pochodna względem czasu);
• a(t) — przyspieszenie (druga pochodna, przeciwna do przemieszczenia).

Wszystkie trzy funkcje zależą od:
• amplitudy xₘ (maksymalne wychylenie),
• częstości kątowej ω (tempo zmiany fazy),
• fazy początkowej φ (przesunięcie czasowe początku drgania).

Przyspieszenie jest zawsze proporcjonalne do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku: maksymalne co do wartości w punktach skrajnych, zero w położeniu równowagi.

T — okres, czas jednego pełnego drgania (w sekundach).
f — częstotliwość, liczba drgań na sekundę (w Hz): f = 1 / T
ω — częstość kątowa, określa prędkość fazową: ω = 2πf

Wielkości te wiążą cechy czasowe ruchu z równaniami x(t), v(t), a(t).

Okres wahadła sprężynowego zależy od masy m i stałej sprężystości k. Im cięższe obciążenie — tym dłuższe jedno drganie, im sztywniejsza sprężyna — tym szybciej.

Okres drgającego ciężarka na nici zależy tylko od długości nici l i przyspieszenia ziemskiego g. Masa ciężarka nie ma na niego wpływu. Wzór ma zastosowanie dla małych kątów wychylenia (do ~10°).

Fala przenosi drgania przez ośrodek z pewną prędkością v.
λ — długość fali: odległość między kolejnymi grzbietami/dolinami lub identycznymi fazami drgań.
f — częstotliwość: ile drgań występuje na sekundę.

Ten wzór jest uniwersalny: ma zastosowanie do fal dźwiękowych, mechanicznych i elektromagnetycznych. Im wyższa częstotliwość przy ustalonej prędkości — tym krótsza długość fali i odwrotnie.

Rezonans występuje, gdy częstotliwość oddziaływania zewnętrznego odpowiada częstotliwości naturalnej układu. Dobroć układu pokazuje, jak „ostro” układ reaguje na tę częstotliwość: Q = ω₀ / Δω — im wyższa, tym ostrzejszy szczyt i węższe pasmo rezonansowe.

Huśtawka to klasyczny przykład rezonatora mechanicznego. Częstotliwość zależy od długości sznurka L, ale nie od masy ciała.

Częstotliwość podstawowej harmonicznej zależy od długości struny L, napięcia T i gęstości liniowej ρ. Jest to podstawa tego, jak instrumenty muzyczne wytwarzają dźwięk.

Obwody elektryczne z indukcyjnością L i pojemnością C są strojone na pożądaną częstotliwość. Jest to podstawa filtrów, odbiorników radiowych i generatorów.

• ω₀ = √(k / m) — częstość naturalna bez tłumienia
• ζ = c / (2√(km)) — współczynnik tłumienia

To równanie opisuje ruch każdego układu z lepkim tarciem: mechanicznego, akustycznego, elektrycznego. Postać rozwiązania zależy od wartości ζ.

Amplituda drgań zmniejsza się wykładniczo z czasem. Częstotliwość drgań jest nieco niższa niż w przypadku układu nietłumionego:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Ten tryb jest realizowany w większości praktycznych problemów: dźwięk w powietrzu, obwody elektryczne, drgania z niewielkim tarciem.

W drganiach tłumionych częstotliwość zmniejsza się w porównaniu do częstości naturalnej układu. Wynika to z utraty energii (np. z powodu tarcia lub oporu).

Jeśli współczynnik tłumienia ζ = 0, częstotliwość pozostaje niezmieniona: ω_d = ω₀.

Wraz ze wzrostem ζ, częstotliwość maleje, a przy ζ → 1, układ wchodzi w tłumienie krytyczne, gdzie drgania zanikają.

Wzór pozwala na wstępną ocenę wpływu tłumienia na dynamikę układu i na wybór optymalnych parametrów w zadaniach inżynierskich.

Logarytmiczny dekrement pokazuje, jak szybko maleje amplituda drgania tłumionego: o ile mniejszy staje się kolejny szczyt w porównaniu do poprzedniego.

Wartość Λ jest związana ze współczynnikiem tłumienia ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Ta charakterystyka jest ważna w analizie układów słabo tłumionych, zwłaszcza w mechanice, elektronice i akustyce.