Oscilaciones y Ondas

1. Ecuación de las Oscilaciones Armónicas

Dependencias Temporales Básicas:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

¿Qué describen estas fórmulas?

Estas ecuaciones describen los parámetros de las oscilaciones armónicas:

x(t) — desplazamiento (coordenada relativa a la posición de equilibrio);
v(t) — velocidad (primera derivada con respecto al tiempo);
a(t) — aceleración (segunda derivada, opuesta al desplazamiento).

Las tres funciones dependen de:
• amplitud xₘ (desviación máxima),
• frecuencia angular ω (tasa de cambio de fase),
• fase inicial φ (desplazamiento temporal del inicio de la oscilación).

La aceleración es siempre proporcional al desplazamiento, pero de signo opuesto: máxima en magnitud en los puntos extremos, cero en el equilibrio.

2. Período y Frecuencia de las Oscilaciones

Relación entre T, f y ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

¿Qué describen estas fórmulas?

T — período, el tiempo de una oscilación completa (en segundos).
f — frecuencia, el número de oscilaciones por segundo (en Hz): f = 1 / T
ω — frecuencia angular, define la velocidad de fase: ω = 2πf

Estas cantidades relacionan las características temporales del movimiento con las ecuaciones x(t), v(t), a(t).

3. Períodos de Sistemas Oscilatorios Simples

Período de las Oscilaciones de un Sistema Masa-Resorte:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

¿Qué describe esta fórmula?

El período de un péndulo de resorte depende de la masa m y de la constante del resorte k. Cuanto más pesada sea la carga, más larga será una oscilación; cuanto más rígido sea el resorte, más rápido.

Período de un Péndulo Matemático (pequeñas oscilaciones):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

¿Qué describe esta fórmula?

El período de un peso que oscila en un hilo depende solo de la longitud del hilo l y de la aceleración de la gravedad g. La masa del peso no lo afecta. La fórmula es aplicable para pequeños ángulos de desviación (hasta ~10°).

4. Onda Mecánica

Ecuación para la relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda:

v = λ \cdot f

¿Qué describe esta fórmula?

Una onda transmite oscilaciones a través de un medio a una cierta velocidad v.
λ — longitud de onda: la distancia entre crestas/valles sucesivos o fases idénticas de las oscilaciones.
f — frecuencia: cuántas oscilaciones ocurren por segundo.

Esta fórmula es universal: se aplica a las ondas sonoras, mecánicas y electromagnéticas. Cuanto mayor sea la frecuencia a una velocidad fija, menor será la longitud de onda, y viceversa.

5. Resonancia y Factor de Calidad

Factor de Calidad de un Sistema Resonante:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

¿Qué es la resonancia?

La resonancia ocurre cuando la frecuencia de una influencia externa coincide con la frecuencia natural del sistema. El factor de calidad muestra cuán "bruscamente" el sistema responde a esta frecuencia: Q = ω₀ / Δω — cuanto mayor, más pronunciado el pico y más estrecha la banda de resonancia.

Péndulo Mecánico:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Aplicación

Un columpio es un ejemplo clásico de resonador mecánico. La frecuencia depende de la longitud de la cuerda L, pero no de la masa del cuerpo.

Cuerda Tensada:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Aplicación

La frecuencia del armónico fundamental depende de la longitud de la cuerda L, la tensión T y la densidad lineal ρ. Esta es la base de cómo los instrumentos musicales producen sonido.

Circuito Oscilatorio (circuito LC):

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Aplicación

Los circuitos eléctricos con inductancia L y capacitancia C se sintonizan a la frecuencia deseada. Esta es la base de los filtros, receptores de radio y generadores.

6. Oscilaciones Amortiguadas

Ecuación Diferencial de las Oscilaciones Amortiguadas:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Parámetros del Sistema

ω₀ = √(k / m) — frecuencia natural sin amortiguamiento
ζ = c / (2√(km)) — coeficiente de amortiguamiento

Esta ecuación describe el movimiento de cualquier sistema con fricción viscosa: mecánico, acústico, eléctrico. La forma de la solución depende del valor de ζ.

Amortiguamiento Débil (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Significado Físico

La amplitud de las oscilaciones disminuye exponencialmente con el tiempo. La frecuencia de oscilación es ligeramente inferior a la de un sistema sin amortiguamiento:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Este modo se realiza en la mayoría de los problemas prácticos: sonido en el aire, circuitos eléctricos, oscilaciones con poca fricción.

Fórmula para la Frecuencia de las Oscilaciones Amortiguadas:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Significado Físico

En las oscilaciones amortiguadas, la frecuencia disminuye en comparación con la frecuencia natural del sistema. Esto se debe a la pérdida de energía (por ejemplo, debido a la fricción o resistencia).

Si el coeficiente de amortiguamiento ζ = 0, la frecuencia permanece inalterada: ω_d = ω₀.

A medida que ζ aumenta, la frecuencia disminuye, y en ζ → 1, el sistema entra en amortiguamiento crítico, donde las oscilaciones desaparecen.

La fórmula permite una evaluación preliminar de cómo el amortiguamiento afecta la dinámica del sistema y para seleccionar parámetros óptimos en tareas de ingeniería.

Decremento Logarítmico de Amortiguamiento:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Significado Físico

El decremento logarítmico muestra cuán rápidamente disminuye la amplitud de una oscilación amortiguada: cuánto menor se vuelve el siguiente pico en comparación con el anterior.

El valor Λ está relacionado con el coeficiente de amortiguamiento ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Esta característica es importante en el análisis de sistemas débilmente amortiguados, especialmente en mecánica, electrónica y acústica.

Manual conciso de física

Fórmulas para secciones clave