Oscilações e Ondas

1. Equação das Oscilações Harmónicas

Dependências Temporais Básicas:

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

O que estas fórmulas descrevem?

Estas equações descrevem os parâmetros das oscilações harmónicas:

x(t) — deslocamento (coordenada relativa à posição de equilíbrio);
v(t) — velocidade (primeira derivada em relação ao tempo);
a(t) — aceleração (segunda derivada, oposta ao deslocamento).

As três funções dependem de:
• amplitude xₘ (desvio máximo),
• frequência angular ω (taxa de mudança de fase),
• fase inicial φ (deslocamento temporal do início da oscilação).

A aceleração é sempre proporcional ao deslocamento, mas de sinal oposto: máxima em magnitude nos pontos extremos, zero no equilíbrio.

2. Período e Frequência das Oscilações

Relação entre T, f e ω:

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

O que estas fórmulas descrevem?

T — período, o tempo de uma oscilação completa (em segundos).
f — frequência, o número de oscilações por segundo (em Hz): f = 1 / T
ω — frequência angular, define a velocidade de fase: ω = 2πf

Estas quantidades relacionam as características temporais do movimento com as equações x(t), v(t), a(t).

3. Períodos de Sistemas Oscilatórios Simples

Período das Oscilações de um Sistema Massa-Mola:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

O que esta fórmula descreve?

O período de um pêndulo de mola depende da massa m e da constante da mola k. Quanto mais pesada for a carga, mais longa será uma oscilação; quanto mais rígida for a mola, mais rápido.

Período de um Pêndulo Matemático (pequenas oscilações):

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

O que esta fórmula descreve?

O período de um peso que oscila num fio depende apenas do comprimento do fio l e da aceleração da gravidade g. A massa do peso não o afeta. A fórmula é aplicável para pequenos ângulos de desvio (até ~10°).

4. Onda Mecânica

Equação para a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:

v = λ \cdot f

O que esta fórmula descreve?

Uma onda transmite oscilações através de um meio a uma certa velocidade v.
λ — comprimento de onda: a distância entre cristas/vales sucessivos ou fases idênticas das oscilações.
f — frequência: quantas oscilações ocorrem por segundo.

Esta fórmula é universal: aplica-se às ondas sonoras, mecânicas e eletromagnéticas. Quanto maior for a frequência a uma velocidade fixa, menor será o comprimento de onda, e vice-versa.

5. Ressonância e Fator de Qualidade

Fator de Qualidade de um Sistema Ressonante:

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

O que é a ressonância?

A ressonância ocorre quando a frequência de uma influência externa coincide com a frequência natural do sistema. O fator de qualidade mostra quão "abruptamente" o sistema responde a esta frequência: Q = ω₀ / Δω — quanto maior, mais pronunciado o pico e mais estreita a banda de ressonância.

Pêndulo Mecânico:

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Aplicação

Um balanço é um exemplo clássico de ressonador mecânico. A frequência depende do comprimento da corda L, mas não da massa do corpo.

Corda Esticada:

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Aplicação

A frequência do harmónico fundamental depende do comprimento da corda L, da tensão T e da densidade linear ρ. Esta é a base de como os instrumentos musicais produzem som.

Circuito Oscilatório (circuito LC):

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Aplicação

Os circuitos elétricos com indutância L e capacitância C são sintonizados à frequência desejada. Esta é a base dos filtros, recetores de rádio e geradores.

6. Oscilações Amortecidas

Equação Diferencial das Oscilações Amortecidas:

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Parâmetros do Sistema

ω₀ = √(k / m) — frequência natural sem amortecimento
ζ = c / (2√(km)) — coeficiente de amortecimento

Esta equação descreve o movimento de qualquer sistema com fricção viscosa: mecânico, acústico, elétrico. A forma da solução depende do valor de ζ.

Amortecimento Fraco (ζ < 1):

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Significado Físico

A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A frequência de oscilação é ligeiramente inferior à de um sistema sem amortecimento:

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Este modo é realizado na maioria dos problemas práticos: som no ar, circuitos elétricos, oscilações com pouca fricção.

Fórmula para a Frequência das Oscilações Amortecidas:

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Significado Físico

Nas oscilações amortecidas, a frequência diminui em comparação com a frequência natural do sistema. Isso deve-se à perda de energia (por exemplo, devido à fricção ou resistência).

Se o coeficiente de amortecimento ζ = 0, a frequência permanece inalterada: ω_d = ω₀.

À medida que ζ aumenta, a frequência diminui, e em ζ → 1, o sistema entra em amortecimento crítico, onde as oscilações desaparecem.

A fórmula permite uma avaliação preliminar de como o amortecimento afeta a dinâmica do sistema e para selecionar parâmetros ótimos em tarefas de engenharia.

Decremento Logarítmico de Amortecimento:

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Significado Físico

O decremento logarítmico mostra quão rapidamente a amplitude de uma oscilação amortecida diminui: quanto menor se torna o próximo pico em comparação com o anterior.

O valor Λ está relacionado com o coeficiente de amortecimento ζ:
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Esta característica é importante na análise de sistemas fracamente amortecidos, especialmente em mecânica, eletrónica e acústica.

Manual Conciso de Física

Fórmulas das principais seções