Oscillations et Ondes

1. Équation des Oscillations Harmoniques

Dépendances Temporelles Fondamentales :

x (t) = X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

v (t) = ω \cdot X_{m} \cdot \cos (ω t + φ)

a (t) = - ω^{2} \cdot X_{m} \cdot \sin (ω t + φ)

Que décrivent ces formules ?

Ces équations décrivent les paramètres des oscillations harmoniques :

x(t) — déplacement (coordonnée par rapport à la position d'équilibre) ;
v(t) — vitesse (première dérivée par rapport au temps) ;
a(t) — accélération (deuxième dérivée, opposée au déplacement).

Les trois fonctions dépendent de :
• l'amplitude xₘ (déviation maximale),
• la fréquence angulaire ω (taux de changement de phase),
• la phase initiale φ (décalage temporel du début de l'oscillation).

L'accélération est toujours proportionnelle au déplacement, mais de signe opposé : maximale en grandeur aux points extrêmes, nulle à l'équilibre.

2. Période et Fréquence des Oscillations

Relation entre T, f et ω :

T = \frac{1}{f}

ω = 2 π \cdot f

Que décrivent ces formules ?

T — période, le temps d'une oscillation complète (en secondes).
f — fréquence, le nombre d'oscillations par seconde (en Hz) : f = 1 / T
ω — fréquence angulaire, définit la vitesse de phase : ω = 2πf

Ces quantités relient les caractéristiques temporelles du mouvement aux équations x(t), v(t), a(t).

3. Périodes des Systèmes Oscillatoires Simples

Période des Oscillations d'un Système à Ressort :

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}

Que décrit cette formule ?

La période d'un pendule à ressort dépend de la masse m et de la constante de raideur du ressort k. Plus la charge est lourde — plus une oscillation est longue, plus le ressort est rigide — plus rapide.

Période d'un Pendule Mathématique (petites oscillations) :

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Que décrit cette formule ?

La période d'un poids oscillant sur un fil ne dépend que de la longueur du fil l et de l'accélération due à la gravité g. La masse du poids n'a aucune influence. La formule est applicable pour de petits angles de déviation (jusqu'à ~10°).

4. Onde Mécanique

Équation de la relation entre la vitesse, la fréquence et la longueur d'onde :

v = λ \cdot f

Que décrit cette formule ?

Une onde transmet des oscillations à travers un milieu à une certaine vitesse v.
λ — longueur d'onde : la distance entre deux crêtes/creux successifs ou phases d'oscillations identiques.
f — fréquence : le nombre d'oscillations par seconde.

Cette formule est universelle : elle s'applique aux ondes sonores, mécaniques et électromagnétiques. Plus la fréquence est élevée à vitesse fixe — plus la longueur d'onde est courte, et vice versa.

5. Résonance et Facteur de Qualité

Facteur de Qualité d'un Système Résonant :

Q = \frac{ω_{0}}{Δ}

Qu'est-ce que la résonance ?

La résonance se produit lorsque la fréquence d'une influence externe correspond à la fréquence naturelle du système. Le facteur de qualité indique la "netteté" avec laquelle le système réagit à cette fréquence : Q = ω₀ / Δω — plus il est élevé, plus le pic est net et la bande de résonance étroite.

Pendule Mécanique :

f = \frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}}

Application

Une balançoire est un exemple classique de résonateur mécanique. La fréquence dépend de la longueur de la corde L, mais pas de la masse du corps.

Corde Tendue :

f = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T}{ρ}}

Application

La fréquence de l'harmonique fondamentale dépend de la longueur de la corde L, de la tension T et de la densité linéaire ρ. C'est la base de la production du son des instruments de musique.

Circuit Oscillatoire (circuit LC) :

f = \frac{1}{2 π \cdot \sqrt{L \cdot C}}

Application

Les circuits électriques avec inductance L et capacitance C sont accordés à la fréquence souhaitée. C'est la base des filtres, des récepteurs radio et des générateurs.

6. Oscillations Amorties

Équation Différentielle des Oscillations Amorties :

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Paramètres du Système

ω₀ = √(k / m) — fréquence naturelle sans amortissement
ζ = c / (2√(km)) — coefficient d'amortissement

Cette équation décrit le mouvement de tout système avec frottement visqueux : mécanique, acoustique, électrique. La forme de la solution dépend de la valeur de ζ.

Amortissement Faible (ζ < 1) :

x (t) = A e^{- ζ ω_{0 > t}} \cos (ω_{d > t + φ)}

Signification Physique

L'amplitude des oscillations diminue exponentiellement avec le temps. La fréquence d'oscillation est légèrement inférieure à celle d'un système non amorti :

ω_d = ω₀ · √(1 – ζ²)

Ce mode est réalisé dans la plupart des problèmes pratiques : le son dans l'air, les circuits électriques, les oscillations avec un léger frottement.

Formule de la Fréquence des Oscillations Amorties :

ω_{d > = ω_{0 > \sqrt{1 - ζ^{2}}}}

Signification Physique

Dans les oscillations amorties, la fréquence diminue par rapport à la fréquence naturelle du système. Cela est dû à une perte d'énergie (par exemple, due au frottement ou à la résistance).

Si le coefficient d'amortissement ζ = 0, la fréquence reste inchangée : ω_d = ω₀.

À mesure que ζ augmente, la fréquence diminue, et à ζ → 1, le système entre en amortissement critique, où les oscillations disparaissent.

La formule permet une évaluation préliminaire de la façon dont l'amortissement affecte la dynamique du système et de choisir des paramètres optimaux dans les tâches d'ingénierie.

Décrément Logarithmique d'Amortissement :

Λ = \ln (\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}}) = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Signification Physique

Le décrément logarithmique indique à quelle vitesse l'amplitude d'une oscillation amortie diminue : à quel point le pic suivant devient plus petit par rapport au précédent.

La valeur Λ est liée au coefficient d'amortissement ζ :
Λ = (2π·ζ) / √(1 – ζ²)

Cette caractéristique est importante dans l'analyse des systèmes faiblement amortis, notamment en mécanique, en électronique et en acoustique.

Manuel Concis de Physique

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